Решение неравенств с одной переменной

Решение неравенств с одной переменной

Неравенством с одной переменной называется неравенство вида или , где f(х) и g(х) - выражения с переменной х и областью определения X.

Например,

Решением неравенства с одной переменной называется множество значений переменной х, при которых данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Например, решением неравенства является множество

Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения или доказать, что таковых нет.

Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, множеством решений неравенства является ;

множеством решений неравенства является .

Значит, эти неравенства равносильны:

Неравенство с одной переменной можно решить алгебраическим методом, используя правила решения неравенств; графическим методом, используя графики простейших функций; методом интервалов.

Алгебраический метод.

Правила решения неравенств с одной переменной.

1. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Например,

1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получим неравенство, равносильное данному.

Например,

1. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Например,

Графический метод.

Этот способ используется, когда неравенство имеет степень, отличной от 1. Это связано с тем, что для линейного неравенства этот способ является аналогом геометрического изображения решений на координатной прямой. Подробно рассмотрим этот способ при разборе методов решения квадратных, дробно-рациональных, кубических неравенств.

Метод интервалов.

Этот метод используется в случае, когда одна из частей неравенства представлена в виде произведения двучленов (или в виде дроби), а другая часть равна 0.

Например, неравенство записано в виде или

Виды неравенств с одной переменной.

1. Линейное неравенство – это неравенство вида , где а и b – некоторые числа.

2. Квадратное неравенство – это неравенство вида , где , b и c – некоторые числа.

3. Дробно-рациональное неравенство – это неравенство вида , где – многочлены.

Есть ещё несколько видов неравенств, но мы их рассмотрим в старших классах.

На данный момент наша цель – научиться решать линейные неравенства с одной переменной.

Например, решим неравенство:

1. Решить неравенство и указать три каких-либо числа, которые являются его решениями:

2. Решить неравенство и изобразить множество его решений на координатной прямой:

1. Решить неравенство:

2. При каких х функция принимает значения:

   а) большие ; б) меньшие ?

3. При каких х функция принимает значения:

   а) большие ; б) меньшие ?

4. Найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству:

5. Составить какое-либо неравенство вида , которое верно при:

   а) б)

6. Составить какое-либо неравенство вида , которое верно при:

   а) б)

7. При каких значениях а неравенство имеет такое же множество решений, что и неравенство ?

8. При каких значениях b неравенство имеет такое же множество решений, что и неравенство ?

9. Решить неравенство . Являются ли решениями этого неравенства числа: ?

10. Решить неравенство . Являются ли решением этого неравенства числа: ?

11. Решить неравенство:

12. При каких значениях b:

    двучлен принимает положительные значения?

    двучлен принимает отрицательные значения?

13. При каких значениях а:

    двучлен принимает положительные значения?

    двучлен принимает отрицательные значения?

14. При каких b значение двучлена больше соответствующего значения дроби ?

15. При каких а значение выражения меньше соответствующего значения выражения ?

16. При каких положительных значениях х функция принимает:

    а) положительные значения; б) отрицательные значения?

17. При каких положительных значениях х функция принимает:

    а) положительные значения; б) отрицательные значения?

18. Решить неравенство:

19. При каких значениях а:

    уравнение имеет положительный корень;

    б) уравнение имеет отрицательный корень?

20. При каких значениях b:

1. Существует ли такое значение b, при котором неравенство не имеет решений (при положительном ответе укажите это значение)?

2. Существует ли такое значение a, при котором неравенство не имеет решений (при положительном ответе укажите это значение)?

3