Решение показательных уравнений

Практическое занятие

Решение показательных уравнений

2) Подготовительный этап.

Перепишите, заполните пропуски и оформите решения уравнений:
Пример 1. Решите уравнения: а)  , б)

а) Решение:

Чтобы решить это уравнение, вспомним свойства степени и приведем правую и левую части уравнения к степени с основанием 5: ,

Если степени с равными основаниями равны, то равны их показатели. Приравняем показатели степеней: х – 7 = – 3, х = 7 – 3, х = ...

Ответ: 4.

б) Решение:

Представим правую и левую части уравнения в виде степени с основанием 2: ,

Приравняем показатели степеней: – 3 (– 3+ х) = 9, 9 – 3х = …, – 3х = 0, х = ...

Ответ: 0.

Пример 2.

Решите уравнения: а)   б)

а) Решение:

Ответ: 1.

б) Решение:

Ответ: 4

Пример 3.

Решите уравнения: а) 49^x 8∙7^x + 7 = 0, б) 9^х – 8∙3^х – 9 = 0

а) Решение:

Пусть у получим уравнение относительно у: у² – 8у + 7 = 0,

D = (– 8)² 4 1 7= 64 – 28 = …, у₁= = …, у₂ = = ... Делаем обратную замену: 1) , = , х₁ = …,

2) , = , х₂ = …

Ответ: х₁ = 1, х₂ = 0.

б) Решение:

9^х – 8∙3^х – 9 = 0, (3^х)² – 8∙3^х – 9 = 0. Пусть 3^х = t, где t 0, тогда t² – 8t – 9 = 0,

D = (–8)² 4 1 (–9) = 64 + 36 = …, t ₁= = …, t ₂ = = ... t₁ = 9, t₂ = – 1. Возвращаемся к замене: 1) 3^х = 9, = , х = …,

2) 3^х = – 1, корней нет т.к. – 1 0

Ответ: 2.

3) Практический этап

Вариант 1 Вариант 2

1. Решите уравнение: 1. Решите уравнение:

2. Решите уравнение:   2. Решите уравнение: 3^х+1 + 3^х-1 + 3^х = 117

3. Решите уравнение: 25^x 6∙5^x + 5 = 0 3. Решите уравнение: 16^х – 15∙4^х – 16 = 0

4) Дополнительные задания^*

Решите уравнения:

1. (0,5)^х =

2.

3.

4.

5.

6.

7. 5^{2х + 1} – 3 ∙ 5^{2х - 1} = 550

8.

9. 4^{х + 1,5} + 2^{х + 2} = 4

10.

11. 4^{х – 1} + 4^х + 4^{х + 1} = 4

12.

13.

14.