Симметрия в пространстве

«Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство»

Герман Вейль

Точки А и А1 называются называется симметричными относительно точки , если точка О –середина отрезка АА1.

Точка называется центром симметрии фигуры .

Точки А и А1 называется симметричной относительно прямой , если прямая а проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к этому отрезку. Прямая называется осью симметрии фигуры .

Симметрия относительно плоскости

Точки и называются симметричными относительно плоскости , если плоскость проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку.

Плоскость называется плоскостью симметрии .

Каждая точка плоскости считается симметричной самой себе.

Центр, ось и плоскость симметрии многогранника называются элементами симметрии этого многогранника.

Многогранники

Их создаёт природа …

Их создают люди …

Выпуклый многогранник называется правильным , если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной:

– трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников;

– трёх квадратов;

– трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, существуют следующие 5 видов правильных многогранников:

икосаэдр

додекаэдр

гексаэдр

октаэдр

тетраэдр

Правильный тетраэдр

Составлен из четырёх равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Правильный октаэдр

Составлен из восьми равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной четырёх треугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Правильный икосаэдр

Составлен из двадцати равносторонних треугольников.

Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Гексаэдр (куб)

Составлен из шести квадратов.

Каждая его вершина является вершиной трёх квадратов.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Правильный додекаэдр

Составлен из двенадцати правильных пятиугольников.

Каждая его вершина является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна .

Интересно знать!

Кристаллы поваренной соли имеют форму куба .

Кристаллы пирита имеют форму додекаэдров .

Пять правильных многогранников были впоследствии описаны Платоном и стали называться Платоновыми телами .

ПЛАТОН

(ок. 427-347 до н.э.)

Модели поверхностей правильных многогранников можно склеить из плотной бумаги или картона, воспользовавшись для этого развертками этих многогранников.

октаэдр

гексаэдр

тетраэдр

додекаэдр

икосаэдр

Каждый правильный многогранник обладает определенными элементами симметрии.

Например:

Прямая, проходящая через середины противолежащих ребер правильного тетраэдра, является его осью симметрии.

Всего тетраэдр имеет оси симметрии.

Элементы симметрии правильного тетраэдра

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии

Элементы симметрии правильного тетраэдра

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии

Элементы симметрии правильного тетраэдра

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии

Элементы симметрии правильного гексаэдра

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии

Элементы симметрии правильного гексаэдра

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии

Элементы симметрии правильного гексаэдра

Центр симметрии

Ось симметрии

Плоскость симметрии

Элементы симметрии

правильных многогранников