"Системы счисления" 10 класс

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

• ДВОИЧНАЯ
• ВОСЬМЕРИЧНАЯ
• ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ПЕРЕВОД В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ:

• ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;
• ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ И ОБРАТНО:

• В ВОСЬМЕРИЧНУЮ;
• В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНУЮ;

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ.

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ПЕРЕВОД В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ:

• ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;
• ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ.

ШЕСТНАДЦАТИРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

ПЕРЕВОД В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ:

• ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;
• ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ;

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ШЕСТНАДЦАТИРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ.

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
• Получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример:

235 10 = ? 2 235 10 = 11101011 2

235 1

• 1

• 0

• 1

• 0

• 1

3 1

• 1

0

ПЕРЕВОД дробных ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДВОИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на 2 до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
• Получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Пример:

0,65625 10 = ? 2 0,65625 10 = 0,10101 2

0, 65625

2

1, 3125

2

0, 625

2

1, 25

2

0, 5

2

1, 0

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ И ОБРАТНО

ПЕРЕВОД целых чисел

Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное, двоичное число нужно разбить на группы по три цифры, справа налево; если в последней левой группе окажется меньше чем три разряда, то необходимо ее дополнить слева нулями. Затем надо преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру по таблице, приведенной ниже.

Пример:

101001 2 = 51 8 ; 0 10010 2 = 22 8 .

ПЕРЕВОД дробей

Осуществляется точно так же, как и целые числа, только число

разбиваем на группы не справа налево, а слева направо и при

необходимости дополняем нулями справа.

Пример:

0,110101 2 = 0,65 8 0,01011 0 2 = 0,26 8

Обратно перевод чисел происходит по этой же таблице. Каждую

цифру восьмеричного числа заменяем группой из трех двоичных

разрядов.

Пример:

53 8 = 101011 2 0,47 8 = 0,100111 2

2с.с.

000

8с.с.

0

001

010

1

2

011

100

3

4

101

110

5

6

111

7

ПЕРЕВОД ИЗ ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В шестнадцатеричную И ОБРАТНО

ПЕРЕВОД целых чисел

Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное, двоичное число нужно разбить на группы по четыре цифры, начиная справа; если в последней левой группе окажется меньше разрядов, надо дополнить ее слева нулями.

ПЕРЕВОД дробей

Осуществляется точно так же, как и целые числа, только число разбиваем на группы слева направо и при необходимости дополняем нулями справа.

Обратно перевод чисел происходит по этой же таблице. Каждую цифру восьмеричного числа заменяем группой из трех двоичных разрядов.

Пример:

00 101001 2 = 29 16 0,110101 00 2 = 0,D4 16 A17 16 = 101000010111 2

2с.с.

16с.с

0000

0001

0

0010

1

2

0011

3

0100

4

0101

5

0110

6

0111

7

1000

1001

8

9

1010

A

1011

B

1100

C

1101

D

1110

E

1111

F

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Правила:

сложения; вычитания; умножения.

0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 * 0 = 0

0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 * 1 = 0

1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 * 0 = 0

1 + 1 = 10 1 * 1 = 1

При сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд.

Пример:

1 1

1 1

1 1

110 2 110 2 110 2 110 2 11 2

11 2 11 2 11 2 11 10 2

1001 2 11 2 110 0

110

10010 2

Проверь себя!

1.Перевести в двоичную систему счисления:

156 10 ; 3679 10 ; 19,25 10 .

156 8 ; 76 8 ; 34,15 8 .

АЕ5 16 ; 67 16 ; 0,В2 16 .

2.Перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:

110101001 2 ; 10101101 2 ; 1111101001 2 .

3.Выполнить арифметические операции:

1000101 2 + 1111101 2 ; 101 2 * 11 2 ;

111 2 + 101 2 ; 111 2 * 111 2 ;

11101 2 – 101 2 ; 11011 2 / 1001 2 ;

10101 2 – 111 2 ; 10010001 2 / 101 2 .

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
• Получить искомое восьмеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример:

216 10 = ? 8 216 10 = 330 8

216 0

• 3

• 3

0

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ВОСЬМЕРИЧНУЮ СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на 8 до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
• Получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Пример:

0,65625 10 = ? 8 0,65625 10 = 0,52 8

0, 65625

8

5, 25

8

2, 0

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ВОСЬМЕРИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

При выполнении действий сложения и вычитания в восьмеричной системе счисления нужно помнить:

В записи результатов сложения и вычитания могут быть использованы только цифры восьмеричного алфавита.

Десяток восьмеричной системы счисления равен 8, т. е. переполнение разряда наступает, когда результат сложения больше или равен 8. В этом случае для записи результата надо вычесть 8, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения.

Если при вычитании приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший разряд в виде восьми единиц.

Пример:

8 8

524 8

1 1

56 8

446 8

524 8

56 8

602 8

Проверь себя!

1.Перевести в восьмеричную систему счисления:

169 10 ; 25891 10 ; 845 10 ; 365 10 .

2.Выполнить арифметические операции:

715 8 + 375 8 ; 715 8 - 375 8 ;

3437 8 + 357 8 ; 77751 8 – 156 8 ;

2627 8 + 36 8 . 3751 8 – 134 8.

ПЕРЕВОД ЦЕЛЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В шестнадцатеричную СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 16 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.
• Получить искомое восьмеричное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Пример:

19 10 = ? 16 19 10 = 13 16

• 3

• 1

0

ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ ДЕСЯТИЧНЫХ ЧИСЕЛ В шестнадцатеричную СИСТЕМУ СЧИСЛЕНИЯ

АЛГОРИТМ:

• Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на 16 до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.
• Получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведения в прямой последовательности.

Пример:

0,65625 10 = ? 16 0,65625 10 = А8 16

0, 65625

16

10, 5

16

8, 0

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В шестнадцатеричной СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

При выполнении действий сложения и вычитания в восьмеричной системе счисления нужно помнить:

При записи результатов сложения и вычитания следует использовать цифры шестнадцатеричного алфавита.

Цифры, обозначающие числа от 10 до 15 записываются латинскими буквами, поэтому, если результат является числом из этого промежутка, его надо записать соответствующей латинской буквой.

Десяток шестнадцатеричной системы счисления равен 16, т. е. переполнение разряда наступает, если результат сложения больше или равен 16, и в этом случае для записи результата надо вычесть 16, записать остаток, а к старшему разряду прибавить единицу переполнения.

Если приходится занимать единицу в старшем разряде, эта единица переносится в младший в виде шестнадцати единиц.

Пример:

16

BE19 16

BA3 16

B266 16

FFFF 16

1 16

10000 16

Проверь себя!

1.Перевести в шестнадцатеричную систему счисления:

512 10 ; 21985 10 ; 953 10 ; 437 10 .

2.Выполнить арифметические операции:

А19 16 + 37С 16 ; FOB 16 - 371 16 ;

19ВВ 16 + 4А2 16 ; 777FA 16 – ABC 16 ;

2FAC 16 + 3DA 16 . 6D1 16 – 4 16.