Тема: "Производная"

Тема: Производная

1. Определение производной, ее физический и геометрический смысл

1.1. Определение производной

1.2. Физический смысл производной

1.3 Геометрический смысл производной

2. Производные элементарных функций

2.1. Таблица производных элементарных функций

2.2. Правила дифференцирования

3. Производная сложной функции

4. Применение производной к исследованию функции

5. Дидактический материал

6. Тест

Содержание " width="640"

Определение производной

Пусть y=f (x) – непрерывная функция, определенная на интервале (a; b).

∆ x – приращение аргумента;

∆ у=f(x+∆ x )- f ( x ) – приращение функции в точке х.

Производной функции у=f (x) в точке х называется предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Обозначение: у' или f'(х).

У

f(b)

f(x+Δx)

f(x)

f(a)

Х

Х+Δх

Х

а

b

Функция, имеющая производную в точке х, называется дифференцируемой в этой точке; операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.

Пример. Функция f (x)=х дифференцируема при х R , и

назад

дальше

Содержание

" width="640"

Физический смысл производной

Пусть точка движется прямолинейно по закону S= S ( t ), где S – перемещение точки за время t.

S

S 2 (t 2 )

-средняя скорость точки за промежуток времени

Мгновенная скорость точки в данный момент в данный момент времени t, равна значению производной от закона движения:

S 1 (t 1 )

Δ t

T

0

t 2

t 1

Такие величины, как перемещение, скорость и ускорение, при движении точки связаны между собой.

(Производную от производной называют производной второго порядка или второй производной).

Содержание

назад

дальше

" width="640"

Геометрический смысл производной

Производная функции в точке х 0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с координатами ( x 0 ;f(x 0 ) )

y

f(x 0 )

α

x

0

x

k – угловой коэффициент касательной.

Уравнение касательной к графику y=f(x), проведенной в точке

с координатами

имеет вид:

Содержание

назад

дальше

" width="640"

Пример

Пример 1. Найти уравнение касательной к графику функции

y=-x²+1 в точке с абсциссой x 0 =1

Решение :

Содержание

назад

дальше

" width="640"

Таблица производных элементарных функций

Функция

С( const )

Производная

0

X

X n

1

nx n-1

1/x

-1/x 2

a n

a x ln a

e x

e x

Sin x

Cos x

Cos x

-Sin x

Функция

Производная

Содержание

назад

дальше

" width="640"

Правила дифференцирования

1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Примеры:

2. Производная алгебраической суммы функций равна сумме их производных (правило справедливо для любого конечного числа слагаемых).

Пример:

3. Производная произведения двух функций

Пример:

Решение:

4. Производная частного двух функций.

Пример :

Решение:

Содержание

назад

дальше

" width="640"

3. Производная сложной функции

Если у есть функция от u : y = F ( u ), где u = f ( x ), т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то y = F ( u )= F ( f ( x )) называется функцией от функции или сложной функцией

Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной

y '( x )= F ’( u ) u ’( x )

Функция

Производная

Функция

Производная

Содержание

назад

дальше

" width="640"

Примеры

Найти производные следующих функций

Пример1.

Решение:

Пример 2.

Решение :

Пример 3.

Решение:

Пример 4.

Решение:

Пример 5.

Решение:

Содержание

назад

дальше

0) , то она возрастает на этом интервале, а если отрицательную производную ( f ’( x )Пример. Найти промежутки монотонности функции Решение . Область определения функции: ; ; ; Ответ : в промежутке (-∞; 0,3] – функция убывает, в промежутке [0,3;+∞] - функция возрастает. (Точка х=0,3 включается в промежутки монотонности, поскольку в этой точке функция определена и непрерывна). Решить примеры Содержание назад дальше " width="640"

4. Применение производной к исследованию функции

Промежутками монотонности функции y = f ( x ) называются промежутки, на которых функция возрастает или убывает

Теорема (о монотонности функции). Если функция f(x) во всех точках некоторого интервала имеет положительную производственную ( f ’( x )0) , то она возрастает на этом интервале, а если отрицательную производную ( f ’( x )

Пример. Найти промежутки монотонности функции

Решение . Область определения функции:

;

;

;

Ответ : в промежутке (-∞; 0,3] – функция убывает, в промежутке [0,3;+∞] - функция возрастает.

(Точка х=0,3 включается в промежутки монотонности, поскольку в этой точке функция определена и непрерывна).

Решить примеры

Содержание

назад

дальше

" width="640"

Задание:

Исследовать функции на возрастание и убывание:

а)

б)

в)

г)

Содержание

назад

дальше

5. Дидактический материал

5.1. Карточка №1

1. Найдите производные функции:

2. Найдите производные сложных функций:

3. Напишите уравнение касательной к графику функции :

5.2. Карточка №2

• Вариант №1

• Вариант №2

• Вариант №3

• Вариант №4

Содержание

назад

1. Найти производные функции:

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Содержание

назад

2. Найдите производные сложных функций:

назад

Содержание

3. Напишите уравнение касательной к графику функции:

а)

в точке с абсциссой

;

б)

;

в точке с абсциссой

в)

.

в точке с абсциссой

назад

Содержание

Карточка 2

Вариант 1

• Найдите производные функции:

а)

б)

в)

2. Напишите уравнение касательной к графику функции:

в точке с абсциссой

3. Найдите

если

Содержание

назад

Карточка 2

Вариант 2

• Найдите производные функции:

а)

б)

в)

2. Напишите уравнение касательной к графику функции:

в точке с абсциссой

3. Найдите

если

Содержание

назад

Карточка 2

Вариант 3

• Найдите производные функции:

а)

б)

в)

2. Напишите уравнение касательной к графику функции:

в точке с абсциссой

3. Найдите

если

назад

Содержание

Карточка 2

Вариант 4

• Найдите производные функции:

а)

б)

в)

2. Напишите уравнение касательной к графику функции:

в точке с абсциссой

3. Найдите

если

назад

Содержание

Вариант 1

6. Тесты

Вариант2

назад

Содержание

Ответы на тест

Вариант 1 Вариант 2

• В 1.А
• А 2.С
• В 3.А
• В 4.В
• С 5.С