Теорема о трёх перпендикулярах

Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.

Планиметрия

Стереометрия

А

А

а

Н

М

Н

М

Отрезок АН – перпендикуляр

Точка Н – основание перпендикуляра

Отрезок АМ – наклонная

Точка М – основание наклонной

Отрезок МН – проекция

наклонной на прямую а

Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость

2

Стереометрия

Планиметрия

А

А

а

Н

М

Н

М

Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.

плоскости

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

3

Н а к л о н н а я

Н а к л о н н а я

П

Е

Р

П

Е

Н

Д

И

К

У

Л

Я

Р

Проекция

Проекция

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли

4

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.

А 0

М 0

II

М

А

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется

расстоянием между параллельными плоскостями.

5

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

a

a II

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

6

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

А

a b

a

a II

b

a 0

м

А 1

Расстояние межу одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

7

Теорема о трех перпендикулярах.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

А

Н-я

П-Р

П-я

Н

М

a

8

Обратная теорема.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

А

Н-я

П-Р

П-я

Н

М

a

9

Н-я 1

Н-я 2

П-я 2

Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника АВС D . Докажите, что треугольники АМ D и МС D прямоугольные.

TTT

AD AB

М

AD AM

П-я 1

Н-я 1

TTT

DC BC

DC CM

П-Р

П-я 2

Н-я 2

В

А

П-я 1

Л.С. Атанасян №147.

С

D

11

Н-я

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.

К

П-Р

В

П-я

М

А

Л.С. Атанасян №148.

С

TTT

BC A М

BC M К

П-я

Н-я

12

Н-я

Отрезок А D перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, А D = 12 см.

Найдите расстояния от концов отрезка А D до прямой ВС.

D

П-Р

В

П-я

N

А

Л.С. Атанасян №149.

С

TTT

BC AN

BC DN

П-я

Н-я

А N и DN – искомые расстояния

14

Дано: AD (ABC)

ACB = 90 0

Доказать: BC DC

D

AD BC

1. AD (ABC)

В

2. ВС AD

BC AC

BC (ADC)

А

3 . BC (ADC)

BC DC

С

D

Дано: АВС, AB С =90° ,

О- центр вписанной

окружности, OD (ABC) ,

АВ=3, ВС=4, DO= , ОМ= r

Найти: DM .

С

А

О

М

4

3

В

16

Задача:

Дано:  А BC, AB = BC = AC, CD  (АВС), А M = MB , DM = 15, CD = 12.

Найдите S ADB .

D

А

С

М

В

Из вершины A прямоугольника АВСD к его плоскости проведён перпендикуляр АМ. Вычислительной длину этого перпендикуляра если МВ=15 МС=24 MD=20.

М

А

D

В

С

РЕШЕНИЕ:

АВСD - прямоугольник,  АМ⊥ пл. АВСD  ⇒  АМ⊥АВ и АМ⊥АD . МВ=15, МС=24, МD=20 Так как МВ - наклонная, а АМ⊥АВ , то АВ - проекция наклонной МВ на пл. АВСD. Причём, АВ⊥ВС. По теореме о трёх перпендикулярах тогда и наклонная МВ⊥ВС  ⇒   Δ МВС - прямоугольный, ∠МВС=90°  ⇒ по теореме Пифагора:  ВС²=МС²-МВ²=24²-15²= 351 ,  ВС=√351 . АD=ВС=√351 . Аналогично, можно доказать, что МD⊥СD  (СД⊥АD, АD - проекция МD  ⇒  МD⊥СД) . Δ МДС - прямоугольный , ∠МDС=90° . СD²=МС²-МD²=24²-20²=176 ,  СD=√176 . АВ=СD=√176 . Δ АМВ:  ∠МАВ=90° ,  АМ²=МВ²-АВ²=15²-176=225-176=49 . АМ=√49=7 .

Через вершину А прямоугольника ABCD со сторонами 6см и 8см проведён перпендикуляр AM к плоскости прямоугольника. Найдите расстояние от точки М до вершины С, если АМ = 12см.

М

А

D

В

С

Задача:

Дано: M В  ( АВС ), МА = М C =5 , МВ=3, АК=КС, угол ВСА=30 градусов. Найти МК.

M

А

К

В



C

Высота прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу, равна 9,6. Из вершины   С   прямого угла восставлен к плоскости треугольника   АВС перпендикуляр  СМ , причем   СМ=28 . Найти расстояние от точки   М   до гипотенузы.