Тема: «Теорема о трёх перпендикулярах»

10 класс

Тема: «Теорема о трёх перпендикулярах»

Цель: Доказать теорему о трёх перпендикулярах, развивать логическое мышление, учить через моделирование, выдвигать гипотезы и доказывать их.

Тип урока: Урок усвоения новых знаний.

План.

1. Актуализация опорных знаний.

2. Мотивация урока.

3. Объяснение нового материала.

4. Решение задач.

5. Итог урока.

Ход урока.

I. Актуализация опорных знаний:

1. Что называется перпендикуляром к плоскости.

2. Что такое наклонная плоскости?

3. Проекция наклонной.

4. Свойства перпендикулярных прямых и плоскости.

5. Признак перпендикулярности прямых и плоскости.

6. Расстояние от точки до плоскости.

7. Расстояние от точки до прямой.

II. Мотивация урока.

Вот наклонная – красавица

Надеюсь вам она понравится

(А здесь проекции её)

Друг без друга ни куда,

Дружат – не разлей вода.

Для обычной для прямой

Мы дадим задание:

Стать для первой и второй

Перпендикулярной…

Думайте и не спешите

Как возможно это?

Где прямая стать должна?

Жду от вас ответа.

(Учащиеся моделируют с помощью стереометрических ящиков)

Объявляется тема и цель урока.

III. Объяснение нового материала.

Теорема: (ТТП). Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной.

Дано:

: АВ .

АС – Наклонная

С,

т С с

ВС c

Доказать:

АС с.

Попробуйте сформулировать теорему, обратную ТТП.

Теорема. (обратная) Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Устно. Установите взаимное расположение прямых a и b по рисунку.

ABCD – квадрат

ABCD – ромб

Алгоритм нахождения расстояния от точки, не лежащей в плоскости, до прямой, содержащейся в плоскости.

1. Найти перпендикуляр, проведённый из данной точки на плоскости.

2. Указать наклонную и её проекцию.

3. Доказать, что прямая перпендикулярна проекции наклонной и ссылаясь на ТТП, утверждать, что прямая перпендикулярна наклонной.

4. Наклонная перпендикулярна прямой, значит, длина наклонной и есть расстоянием от точки до прямой.

Решение задач:

Задача: В ABC , A = 30; B = 60

AD (ABC). Доказать CD BC.

Дано: Доказательство:

ABC ABC:

A = 30 С = 180 - (30+ 60)

B = 60 = 90

AD (ABC) АС ВС

Доказать: AD –перпендикуляр

CD BC DC – наклонная

АС – проекция

АС СВ, по ТТП DС СВ

Итог: п.148, доказательство обратной теоремы

Из истории: Аналитический способ доказательства предложил Рене Декарт.

В первой книге по геометрии «Начала» Евклида нет доказательства ТТП.