Задачі з теми " Відсотки"

БаюнБібліотека для допитливих

Н. В. Баюн

Все про

Навчальний посібник

Рівне

Баюн Н. В. Все про відсотки. Навчальний посібник. – Рівне – 19с.

У виданні містяться означення і опис понять, правила та формули з елементарної математики, пов’язані з поняттям відсотків .Подані також методи розв’язування основних типів задач і вправ на знаходження відсотків.

Посібник розрахований на учнів шкіл, гімназій, ліцеїв, абітурієнтів – на всіх, хто бажає відновити та систематизувати знання з теми „ Відсотки”. Корисним буде для учителів математики.

Вступ.

Завдання цього посібника я вбачаю в узагальненні , виділенні типових підходів та методів до розв’язання як стандартних, так і нестандартних задач, що стали невід’ємним атрибутом зовнішнього незалежного оцінювання.

Задачі на відсотки належать до традиційного розділу елементарної математики. Перше знайомство відбувається вже у п’ятому класі з найпростіших завдань. Інтерес до цього цілком зрозумілий, оскільки сприяє розвитку логічного мислення, кмітливості та спостережливості. Умінню самостійно здійснювати аналітичні дослідження. Підібрані приклади з практики вступних іспитів дають змогу учням ознайомитися як з класичними, так і нестандартними методами та ідеями, виробити алгоритмічний підхід та набути практичних навичок розв’язування подібних задач.

Для закріплення і глибшого засвоєння матеріалу після кожного розділу посібника задані вправи для самостійної роботи.

Посібник адресовано учням усіх класів, особливо старших, але його можуть використовувати й учителі математики як у навчальному процесі, так і в позакласній роботі. Матеріал посібника не виходить за межі програми з математики для класів та ліцеїв з поглибленим її вивченням.

Чи потрібно точно знати вміст металу в руді, жиру в молоці, концентрацію хімічних речовин у ліках?

Це запитання можна ставити по-різному.

Наприклад, скільки важить уся сіль, розчинена в морях і океанах?

А можна й так: скільки жиру міститься в одному літрі молока? Відповідь записують у вигляді десяткового дробу. А з якою точністю?

Якщо ваги в крамниці показують 520 г, то насправді предмет може важити 515 г, і 524 г. А двісті-триста років тому точність ваг була ще меншою. Відтак правильними можна було вважати лише одну-дві перші цифри, а тому величину вмісту однієї речовини в іншій мало сенс розглядати з точністю до двох перших цифр: 0,26; 0,64; 0,37, тобто 26 сотих, 64 сотих, 37 сотих.

У перекладі з латини „процент”(відсоток) – сота частина. Був придуманий їх спеціальний запис: %. Запис відношень став зручнішим. Щезли нулі й кома, а символ % одразу вказує, що перед нами відносна величина, а не грами, літри, гривні чи метри.

Відсотки були відомі індусам ще в 5 ст. нашої ери, адже в Індії все рахувалось в десятковій системі числення. В Європі десяткові дроби з’явилися 1000 років пізніше.

Запиши у відсотках та прочитай, що буде на обідньому столі у щуки?

1. С – 0,02

2. А – 0,09

3. О – 0,17

4. В – 0,39

5. У – 0,1

6. І – 0,6

7. Ф – 0,9

8. П – 0,07

9. Е – 1,37

10. Ї – 4,6

1. Т – 5

2. Л – 0,2

3. Ц - 0,7

4. К – 4,5

5. Ж – 29

6. Н – 0,013

7. Щ – 0,12

8. Ю – 0,457

9. И – 6,006

10. Р – 4,51

___ ___ __ ____ ___ ____ ___ _____ ___ ___

7 10 2 500 17 500 20 600,6 39 60

__ ____ ___ ___ ___ ___ ____ ___

17 450 10 1,3 70 60 500 9

___ __ ___ ___ __ _____ ____ _____

450 9 451 9 2 600,6 450 600,6

Вирази відсотки у вигляді десяткового дробу та прочитай англійське прислів’я

Ю – 1%=0,01

Ч – 5%

К – 20%

Б – 25%

С – 30%

Е – 40%

И – 50%

Є – 75%

П – 100%

Г – 3%

Ф – 10% Н – 16%

З – 15% Ь – 21%

Щ – 45% Ш – 37%

В – 60% Ї – 12%

О – 80% Т – 6%

Х – 150% Й – 9%

Д – 200% М – 92%

Р – 500% Ц – 940%

У – 59%

Щ – 376%

Б – 511%

Я – 56%

Ж – 81%

І – 99%

Х – 31%

Є – 26%

А – 44%

В – 51%

__ ___ ____ __ ____ __ ___ ___ ____

2 0,5 0,92 5 0,99 2 0,16 0,8 0,12

___ __ ____ ____ ____ ___

0,2 5 0,44 0,12 0,16 0,5

____ ___ ____ ____ ____ ___ ____

0,56 0,3 0,16 0,99 0,37 0,5 0,09

___ ___ ___ ___ ___ ____ ____ ____

0,6 0,99 2 0,6 0,8 0,03 0,16 0,01

___ ___ ___ ___ ____ ___ .

0,05 0,59 0,81 0,5 0,16 0,5

Всі задачі „ на проценти” можуть бути зведені в підсумку до застосування пропорції, яку одержують з наступних міркувань:

Деяке число а беруть за 100%, а інше число в становить х % від а.

Задачі на відсотки умовно ділять на три типи:

1.Знаходження відсотка від даного числа.

Щоб знайти а % від в, потрібно в помножити на

Приклад. 30% від 60 складають = 18

2. Знаходження числа за його відсотком.

Якщо відомо, що

а % числа х дорівнює в, то число х можна

знайти за формулою х =

Приклад. Якщо 3% вкладу складають 150 грн., то цей вклад дорівнює

= 5000 грн.

3. Знаходження відсоткового відношення чисел.

Щ об знайти відсоткове відношення чисел а і в, потрібно відношення цих чисел помножити на 100%, тобто

Приклад.

При плановому завданні 60 автомобілів у день завод випустив 66, тоді

він виконав план на = 110%.

Задачі для самостійної роботи:

Задача 1.

Скільки процентів становить число 5 від числа, що є його квадратом.

Задача 2.

Дано дріб . Чисельник цього дробу збільшити на 100%, а знаменник

зменшити на 25%. Який дріб утвориться?

Задача 3.

Плоди ананаса містять 84 % води. Решта – цукор та інші поживні речовини. Цукор складає 25% маси залишку. Скільки цукру міститься у 175 кг плодів ананаса?

Задача 4.

У класі 35 учнів, із них 20 дівчаток. Скільки процентів усіх учнів класу складають дівчатка?

Задача 5.

Сума чотирьох чисел 336. Знайти ці числа, якщо перше складає 80% другого числа, друге – 40 % третього, а третє – 20% четвертого.

Знайди відсоток від числа та скажи з ким товаришував П’ятачок

1. К – 2% від 50

2. В – 10% від 20

3. О – 50% від 34

4. І – 25% від 40

5. Н – 60% від 30

6. С – 5% від 2000

7. Ч – 3% від 50

8. Х – 12% від 20

9. П – 37% від 140

10. Л – 25% від 160

11. А – 60% від 12

12. У – 26% від 150

13. И – 24% від 440

14. Ю – 45% від 220

15. Р – 50% від 350

__ __ ___ ___ __ ___ ___ ___ ,

2 10 18 18 10 51,8 39 2,4

__ ___ ___ __ ____ __ , ___ __ ___ ___ ,

1 175 17 40 105,6 1 100 17 2 7,2

__ __ ___ ___ ___ ___ ___ __ .

2 10 100 40 99 1,5 17 1

Знайди число за його відсотком та дай відповідь на запитання: Хто винен у тому, що у слоника довгий ніс?

1. Т – 8% якого 56

2. П – 2% якого12

3. И – 50% якого 20

4. К – 25% якого 5

5. З – 10% якого 15

6. Л – 5% якого 10

7. О – 21% якого 4,41

8. Й – 14% якого 7

9. Д – 4% якого 20

10. С – 5% якого 2,55

11. А – 23% якого 23

12. Х – 14% якого 2,87

13. Р – 25% якого 0,2

14. Н – 45% якого 0,9

15. В – 37% якого 10

16. І – 64% якого 5,12

17. У- 77%якого 3, 08

_____ _____ _____ _____ , _____ _____ _____ _____ _____ _____

150 200 40 50 20,5 40 700 0,8 40 50

_____ _____

700 100

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____

600 8 500 51 700 4 600 2 40 50

_____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ _____ .

20 0,8 21 20 21 500 40 200

Обчисли скільки відсотків складають одне число від іншого і прочитаєш професію Рекса.

1

О

6

К

7

А

И

П

5

Р

2

3

8

Н

4

Ш

1 2 3 4 5 6 7 8

Задачі, пов’язані з поняттям концентрації.

В умовах задач такого типу мова йде про складання сплавів, про одержання нових розчинів чи сумішей двох чи декількох речовин.

Поясню зміст деяких понять.

Відсотковою концентрацією розчину називають відношення маси речовини, яка розчинилась, до маси всього розчину, виражене у відсотках.

Вміст різних металів та домішок у сплавах теж виражається у відсотках.

Пробою називають кількість грамів чистого металу в одному кілограмі сплаву. Наприклад, якщо в одному кілограмі сплаву міститься 875 г чистого золота, то його називають золотом 875-ї проби.

В подібних задачах приймаються такі основні припущення:

1. Всі одержані сплави чи суміші однорідні;

2. При змішуванні двох розчинів V = V1 + V2;

3. Об’ємним процентним вмістом компоненти А називається величина р А = СА*100%, тобто концентрація цієї речовини виражена в процентах;

4. Аналогічно визначаються масові концентрації і процентний вміст чистої речовини в сплаві;

5. Концентрація – це безрозмірна величина; сума концентрацій усіх компонентів, які складають суміш, дорівнює одиниці.

Приклад.

Морська вода містить 9% ( за масою) солі. Скільки кілограмів прісної води треба долити до 100 кг морської, щоб вміст солі в суміші становив 2%.

Розв’язання.

Нехай до морської води треба долити х кілограмів прісної. Враховуючи те, що кількість солі в суміші не змінилась, отримаємо рівняння:

( 100 + х) *0,05 = 100* 0,09

х = 80

Відповідь: 80 кг

Приклад.

Є брухт сталі двох сортів з вмістом нікелю 5% і 40%. Скільки потрібно взяти кожного з сортів, щоб вийшло 140т сталі з вмістом нікелю 30%.

Розв’язання.

Розглянемо розв’язок у вигляді системи рівнянь.

Позначимо відповідно через х і у кількість сталі першого і другого сортів, які необхідно взяти, щоб одержати 140т. Тоді у новий сорт сталі увійде відповідно 0,05х тонн чистого нікелю від першого сорту і 0,4у тонн від другого сорту. Оскільки за умовою новий сорт сталі містить 30% нікелю, то в 140 т його буде

Маємо систему рівнянь:

х + у = 140

0,05х + 0,4у = 42

Розв’язуючи систему, одержимо х = 40, у = 100.

Відповідь: сталі першого сорту потрібно взяти 40т, другого сорту – 100т.

Дану задачу можна розв'язати і за допомогою одного рівняння.

Приклад.

Вологість свіжоскошеної трави 60%, а сіна – 15%. Скільки сіна можна одержати з 10 тонн свіжоскошеної трави.

Розв’язання.

У задачах такого типу важливо виділити „ суху” речовину. Так у 10 т свіжоскошеної трави матимемо 60% вологи і 40% - „ сухої” речовини, тобто 4 т. Оскільки у сіні 15% вологи і відповідно 85% - сухої речовини, то можна скласти пропорцію: 4 тонни – становлять 85%, а х тонн – 100%.

Звідси х = = (т)

Задачі для самостійної роботи:

Задача 6.

Свіжі гриби містять 90 % води, а сухі – 12%. Скільки дістанемо сухих грибів з 22 кг свіжих?

Задача 7.

Є сплав міді з оловом загальною масою 12 кг, який містить 45% міді. Скільки чистого олова треба додати до цього сплаву, щоб новий сплав містив 40% міді?

Задача 8.

Скільки води треба додати до 500 г 9% розчину оцтової кислоти, щоб отримати 3% розчин?

Задача 9.

Змішали 30% розчин соляної кислоти з 10% і дістали 300 г 15% розчину. Скільки грамів 10% розчину було взято?

Задача 10.

Дано два сплави. Перший містить 55% хрому, 45% нікелю, а другий – 60% нікелю, 25% хрому та 15% кобальту. Із них треба виготовити новий сплав, який містить 10% кобальту. Який процентний вміст нікелю у новому сплаві?

Розглянемо тепер задачі, які можна об’єднати в одну групу, оскільки їх розв’язання пов’язано з виявленням спільної закономірності зміни тієї чи іншої величини в результаті багаторазової операції, що повторюється. Наступні приклади дозволяють одержати важливі співвідношення, які будуть відображати характер зміни певних величин і будуть корисними при розгляді подібних задач.

Н ехай в кінці кожного етапу величина змінюється на одну і ту ж постійну кількість процентів р%, а початкове значення вихідної величини А₀. Тоді в кінці першого етапу ця величина буде дорівнювати А₁ = А₀*( 1 + )

В кінці другого етапу А₂ = А₁ + * А₀ = А₀*( 1 + )²

В кінці n – го етапу значення величини визначається формулою.

А _n = А₀*( 1 + ) ⁿ

Множник ( 1 + ) показує, в скільки разів величина А збільшується за один етап.

Приклад.

У банк було покладено 10000 грн. Який відсоток нараховує банк щоквартально, якщо через 2 роки було отримано 14775 грн.

Розв’язання.

О скільки два роки складають вісім кварталів, то згідно з формулою

А _n = А₀*( 1 + ) ⁿ

матимемо

14775 = 10000*( 1 + )⁸ , тобто р ≈ 5%.

Відповідь: 5%.

В посудині, об’єм якої дорівнює V_0, міститься р% розчин солі. З посудини виливають а літрів суміші і доливають а літрів води, після чого розчин перемішують. Це повторюють п разів. За яким законом змінюється концентрація солі в посудині, тобто якою буде концентрація солі після п процедур?

П очаткова кількість солі в розчині * V_0, тоді після того, як відлили а літрів суміші першого разу солі залишилось * V₀( 1- )

С₁ = (1- ) – концентрація суміші після першого доливання а літрів води.

М іркуючи аналогічно, знаходимо, що концентрація солі в розчині після п відливань та доливань визначається формулою: С_п = (1 - )^п, яка є спадною геометричною прогресією зі знаменником 1 - . Цей множник показує, в скільки раз падає концентрація після чергового переливання.

Приклад.

У посудині, об’ємом 30 л міститься 20% розчин солі. З неї виливають 5 л розчину і доливають 5 л води. Цю процедуру повторюють 3 рази. Яка концентрація речовини стане у розчині?

Розв’язання.

А _n = ( 1 - )³ = 12

Відповідь: 12%

Задачі для самостійної роботи:

Задача 11.

Банк виплачує 40% річних. Скільки грошей треба покласти в банк, щоб через два роки на рахунку було 500 грн.

Задача 12.

Зарплата робітника 800 грн. Спершу її підвищили на 10%, а через деякий час ще на 20%. На скільки процентів зросла зарплата робітника порівняно з початковою?

Задача 13.

Мотоцикліст, рухаючись зі швидкістю 40 км/год, спочатку підвищив швидкість на 20%, а потім зменшив її на 25%.Якою стала швидкість мотоцикліста?

Задача 14.

Скільки відсотків річних має виплачувати банк, щоб через два роки отримати 144 грн. , якщо початковий вклад 100 грн.

Задача 15.

Собівартість товару 130 грн. Відпускна ціна товару була збільшена на 15%. Після деякого періоду ціну зменшили на 6 %. Яка кінцева ціна товару?

Список використаної та рекомендованої літератури:

1.Коваленко В. Г. Алгебра 8; Київ „Освіта”, - 1995- с.147-160

2. Балан В. Г. Текстові задачі на вступних іспитах. Навчальний посібник; Київ-2003-с.8.20

3.Кушнір І.Математика в прикладах і задачах. 101 порада абітурієнту.-К.:Факт, 2001.-304с.;іл.

4.Гладунський В. Н. Математика. Означення, формули, задачі. Навчальний посібник. - Львів , Афіша, 2000 – 304 с.

Зміст:

1. Вступ.____________________________________________ 3

2. Історична довідка._________________________________ 4

3. Задачі, що приводять до відсотків.___________________ 5

4. Основні типи задач на відсотки._____________________ 7

5. Задачі для самостійної роботи._______________________ 8

6. Типові задачі з використанням ігрових технологій______ 9

7. Задачі, пов’язані з поняттям концентрації._____________10

8. Задачі для самостійної роботи.________________________12

9. Задачі на використання формули складних відсотків ___13

10. Задачі для самостійної роботи._____________________15

11. Список використаної та рекомендованої літератури _16