Метод координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора. Королёва Кристина Андреевна учитель математики МОУ СОШ №2 п.Чернышевск 2023г.

Прямоугольная система координат

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве

Прямые, с выбранными на них направлениями, называются осями координат , а их общая точка — началом координат . Она обозначается обычно буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Оz — и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат.

Вся система координат обозначается Охуz. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на два луча. Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью , а другой луч отрицательной полуосью .

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами .

М (x;y;z)

На рисунке изображены шесть точек

x y z

А (9; 5; 10),

В (4; -3; 6),

С (9; 0; 0),

D (4; 0; 5),

Е (0; 3; 0),

F (0; 0; -3).

Координаты вектора

Любой вектор можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде причем коэффициенты разложения х, у, z определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z в разложении вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат. {x; y; z}

Координаты векторов, изображённых на данном рисунке, таковы:

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

1. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если a {х 1 , у 1 , z 1 } и b{х 2 , у 2 , z 2 } — данные векторы, то вектор a+b имеет координаты {х 1 +х 2 , у 1 + у 2 , z 1 + z 2 }.

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если a {х 1 , y 1 , z 1 } и b{х 2 у 2 ; z 2 } — данные векторы, то вектор a - b имеет координаты {х 1 - х 2 , y 1 - y 2 , z 1 - z 2 }.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Другими словами, если а {х; у; х} — данный вектор, α — данное число, то вектор αa имеет координаты {αх; αу; αz}.