УРОК – ИССЛЕДОВАНИЕ ПО АЛГЕБРЕ В 8 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ «РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 2, 4-ой СТЕПЕНЕЙ».
ЦЕЛЬ: Привитие интереса у обучающихся к решению нелинейных уравнений. Закрепить навыки решения квадратных уравнений и биквадратных.
1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ.
Учитель приветствует обучающихся и сообщает им о том, что сегодня они становятся младшими научными сотрудниками института по исследованию уравнений. В институте есть следующие кафедры:
1). Решение квадратных уравнений с помощью дискриминанта Д или Д1 .
2). Решение приведённых квадратных уравнений по теореме Виета.
3). Решение неполных квадратных уравнений.
4). Решение биквадратных уравнений.
Поэтому класс делится на три группы.(Предпочтительнее, если учитель заранее разделит класс на группы в соответствии с их способностями и возможностями.)
ГРУППОВАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ.
Работа первой группы.
Группе выдаётся карточка с основным справочным материалом. Но лучше, если учитель просто приготовит учебники, справочники по математике, где дети сами найдут всю необходимую информацию. В свои тетради ребята должны записать следующее:
Определение квадратного уравнения: ах2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в, с – некоторые числа, причем а – отлично от нуля. Квадратное уравнение называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля.
Если в- нечётное число, то квадратное уравнение решается через нахождение дискриминанта Д. Д = в2 – 4ас. После нахождения Д смотрят на его знак: если Д 0, то уравнение имеет два различных корня х1 = (-в + √Д) / 2а, х2 = (-в - √Д)/2а; если Д = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х 1 = х 2 = -в / 2а.
Если в – чётное число, то квадратное уравнение решается через нахождение дискриминанта Д1 (в некоторых источниках он называется Д/4, так как полученное число в 4 раза меньше, чем Д). При решении уравнения также смотрят на знак: если Д11 0, то уравнение имеет два различных корня х1 = (-в/2 + √Д1) /а, х2 = (-в/2 - √Д1)/а; если Д = 0, то уравнение имеет два совпадающих корня х 1 = х 2 = -в / 2а.
После работы группы над теорией, выдаётся практическое задание. Его выполняет каждый член группы самостоятельно, но при возникновении затруднений можно консультироваться с другими членами группы.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПЕРВОЙ ГРУППЫ.
Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения:
8х2 + 15 х + 10 = 0
9х2 + 12 х – 4 = 0
- х2 + 3 х + 18 = 0
х2 - х – 6 = 0
4 х2 – 3 х - 1 = 0
Работа второй группы.
Группе необходимо найти и записать информацию:
Квадратное уравнение называется приведённым, если его первый коэффициент а = 1.
Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0 все коэффициенты кратны а, то на него можно разделить и получаем уравнение вида
х2 + (в/а)х + с/а = 0, где в/а = p и с/а = q .
Имеем уравнение : х2 + p х + q = 0
Найдём сумму корней этого уравнения и произведение.
Х1 + х2 = (( - p + √ Д)/2) + (( - p - √ Д)/2) = - p;
х1* х2 = (( - p + √ Д)/2) * (( - p - √ Д)/2) = (p2 – (p2 – 4 q )) /4 = q.
Теорема Виета читается так: сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ВТОРОЙ ГРУППЫ,
Решить уравнения, применяя теорему Виета:
х2 – 9х + 20 =0;
х2 + 11х – 12 =0;
2х2 – 12х + 16 =0;
10х2 + 50х + 60 =0.
Работа третьей группы.
Группе необходимо собрать следующую информацию:
Определение квадратного уравнения: ах2 + вх + с = 0, где х – переменная, а, в, с – некоторые числа, причем а – отлично от нуля. Квадратное уравнение называется полным, если все коэффициенты отличны от нуля. Если в квадратном уравнении хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю или в = с = 0, то уравнение называется неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1). Ах2 = 0;
2). Ах2 + вх = 0;
3). Ах2 + с = 0.
Ах2 = 0; х2 = 0 : а; х2 = 0; х = 0. Данное уравнение имеет единственный
корень х = 0
Х (ах + в)= 0. Правило: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей.
Имеем: х = 0 или ах + в = 0.Откуда х1 = 0, а х2 = -в/а.
Ах2 + с = 0; ах2 = -с; х2 = -с / а. После выполнения действий смотрят на полученное число. Если – с/а
–с/а0, то уравнение имеет два корня : х1 = √-с/а и х2 =- √-с/а.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ТРЕТЬЕЙ ГРУППЫ.
Решить уравнения, выбирая наиболее рациональный способ решения:
-5х2 = 0;
4х2 + 9х = 0;
-3х2 + 15 = 0;
х2 + 0,09 = 0.
Работа четвёртой группы.
Группе необходимо собрать информацию:
Уравнение вида ах4 + вх2 + с = 0 называется биквадратным уравнением (дважды квадратным относительно х ). А*( х2 )2 + вх2 + с = 0. Идея решения такого уравнения заключается в приведении его к квадратному через введение новой переменной. Замена : х2 = у. Получаем следующее уравнение: ау2 + ву + с = 0.
Решение квадратного уравнения ау2 + ву + с = 0 происходит через нахождение Д, Д1 или по теореме Виета. Находят корни у1 и у2.
Затем необходимо вернуться к замене и решить полученные неполные квадратные уравнения: х2 = у1 или х2 = у2 .В зависимости от полученных значений у1 и у 2 данное биквадратное уравнение может не иметь корней, может иметь один, два, три или четыре корня.
ЗАДАНИЯ ДЛЯ ЧЕТВЁРТОЙ ГРУППЫ.
Решить биквадратные уравнения:
7х4 - 9х2 + 2= 0;
х4 + 20х2 + 91 = 0;
3х4 - 2х2 - 5 = 0
8.ДЕМОНСТРАЦИЯ ПОЛУЧЕННЫХ ЗНАНИЙ В ФОРМЕ РЕШЕНИЯ ОДНОГО ИЗ ВИДОВ УРАВНЕНИЯ У ДОСКИ.
Учитель приглашает к доске представителей каждой группы и предлагает продемонстрировать полученные и систематизированные на уроке знания, умения и навыки. Ученик объясняет решение и записывает его на доске, а все присутствующие ученики пишут в тетрадях.
2) –у2 +3у + 5 = 0.
2) 2у2 – 8у + 4 = 0.
2) 4у2 +9у = 0.
2) –у4 - 7у2 – 4= 0.
5. ИТОГ УРОКА.
Учитель предлагает обучающимся ответить на вопросы:
Чему научились на уроке сегодня?
Что было интересно на уроке?
В чём испытывали затруднения?
Что хорошо запомнили с сегодняшнего урока?
Какой вывод сделали для себя?
После этого учитель собирает тетради обучающихся на проверку. Оценка за письменное выполнение работы будет выставлена каждому ученику к следующему уроку. А работу учащихся у доски оценивается сразу и комментируется.
1 226
50 261 
