Двугранный угол.10 класс

ДВУГРАННЫЙ УГОЛ

Д вугранным углом называ ется фигур а (рис. 1), образованн ая двумя полуплоскостями, с общей ограничивающей их прямой, и частью пространства, ограниченной этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая граничная прямая – ребром двугранного угла.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Линейным углом двугранного угла называется угол, полученный в результате пересечения данного двугранного угла и какой-нибудь плоскости, перпендикулярной его ребру (рис. 2).

Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Куб 1

В кубе A … D 1 найдите уг ол между плоскостями

ABC и CDD 1 .

Ответ: 90 o .

Куб 2

В кубе A … D 1 найдите уг ол между плоскостями

ABC и CDA 1 .

Ответ: 45 o .

Куб 3

В кубе A … D 1 найдите уг ол между плоскостями

ABC и BDD 1 .

Ответ: 90 o .

Куб 4

В кубе A … D 1 найдите тангенс угла между плоскостями

ABC и BC 1 D .

Решение: Обозначим O середину BD . Искомым линейным углом будет угол COC 1 . В прямоугольном треугольнике COC 1 имеем

CC 1 = 1; CO =

Следовательно,

Куб 5

В кубе A … D 1 найдите тангенс угла между плоскостями

ABC и AB 1 D 1 .

Решение: Плоскость AB 1 D 1 параллельна плоскости BC 1 D . Из предыдущей задачи следует, что

Куб 6

В кубе A … D 1 найдите уг ол между плоскостями

ACC 1 и BDD 1 .

Ответ: 90 o .

Куб 7

В кубе A … D 1 найдите уг ол между плоскостями

BC 1 D 1 и BA 1 D .

Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника BDA 1 перпендикулярна диагонали AC 1 , которая проходит через центр этого треугольника . Следовательно, данные плоскости перпендикулярны. Искомый угол равен 90 o .

Ответ: 90 o .

Куб 8

В кубе A … D 1 найдите уг ол между плоскостями

ABC 1 и BB 1 D 1 .

Решение: Заметим, что плоскость равностороннего треугольника ACB 1 перпендикулярна диагонали BD 1 , которая проходит через центр O этого треугольника . Искомым линейным углом будет угол B 1 OE , который равен 60 o .

Ответ: 60 o .

Куб 9

В кубе A … D 1 найдите косинус угла между плоскостями

BC 1 D и BA 1 D .

Решение: Пусть O – середина BD . Искомый угол равен углу A 1 OC 1 . Имеем

Используя теорему косинусов, получим

Ответ:

Куб 10

В кубе A … D 1 точка E – середина ребра BB 1 . Н айдите тангенс угла между плоскостями AEC 1 и ABC .

Решение: Искомый угол равен углу CAC 1 . Его тангенс равен

Ответ:

Пирамида 1

В правильном тетраэдре ABCD найдите косинус угла между плоскост ями ABC и BCD .

Решение: Пусть E – середина BC . Искомым линейным углом является угол AED . В треугольнике AED имеем:

AD = 1, AE = DE = По теореме косинусов находим

Ответ:

Пирамида 2

В правильном тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AD . Н айдите угол между плоскост ями ACD и BCE .

Ответ: 90 о .

Пирамида 3

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите косинус угла между плоскостями SBC и ABC .

Решение: Пусть E , F – середины ребер BC и AD , O – центр основания. Искомым линейным углом является угол SEF .

В прямоугольном треугольнике SEO имеем EO = , SE =

Следовательно,

Ответ:

Пирамида 4

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите косинус двугранного у гла, образованного гранями SAB и SBC .

E

Решение: Пусть E – середина ребра SB . Искомым линейным углом является угол AEC . В треугольнике AEC имеем :

AC = , AE = CE = По теореме косинусов находим

Ответ:

Пирамида 5

В правильной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1, н айдите косинус угла между плоскостями SAD и SBC .

Решение: Пусть E , F – середины ребер AD , BC . Искомым линейным углом является угол ESF . В треугольнике ESF

имеем : EF = 1, SE = SF = По теореме косинусов находим

Ответ:

Пирамида 6

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите косинус угла между плоскостями ABC и SBC .

Решение: Пусть O – центр основания, G – середин ребра BC . Искомым линейным углом является угол SGO .

В прямоугольном треугольнике SGO имеем : OG = , SG =

Следовательно,

Ответ:

Пирамида 7

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите косинус двугранного у гла, образованного гранями SAB и SBC .

Решение: В треугольниках SAB и SBC опустим высоты AH и CH на сторону SB . Искомым линейным углом является угол AHC . В прямоугольном треугольнике AHC имеем : AC = , AH = CH =

По теореме косинусов находим

Ответ:

Пирамида 8

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите косинус двугранного у гла, образованного гранями SAB и SBC .

Решение: Продолжим ребра AB и DC до пересечения в точке G . В треугольниках SAG и SDG опустим высоты AH и DH на сторону SG . Искомым линейным углом является угол AHD . В треугольнике AHD имеем :

AD = 2, AH = DH =

По теореме косинусов находим

Ответ:

Пирамида 9

В правильной 6- ой пирамиде SABCDEF , боковые ребра которой равны 2, а стороны основания – 1, н айдите косинус двугранного у гла, образованного гранями SAB и SDE .

Решение: Пусть G , H – середины ребер AB , DE . Искомым линейным углом является угол GSH . В треугольнике GSH

имеем : GH = , SG = SH = По теореме косинусов находим

Ответ:

Призма 1

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 найдите угол между плоскост ями ABC и BB 1 C 1 .

Ответ: 90 o .

Призма 2

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 найдите угол между плоскост ями ACC 1 и BCC 1 .

Ответ: 60 o .

Призма 3

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите тангенс уг ла между плоскост ями ABC и A 1 B 1 C .

Решение: Обозначим O , O 1 - середины ребер AB и A 1 B 1 . Искомым линейным углом будет угол OCO 1 . В прямоугольном треугольнике OCO 1 имеем

OO 1 = 1; OC =

Следовательно,

Призма 4

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите тангенс уг ла между плоскост ями ABC и ACB 1 .

Решение: Обозначим O - середину ребра AC . Искомым линейным углом будет угол BOB 1 . В прямоугольном треугольнике BOB 1 имеем

BB 1 = 1; BO =

Следовательно,

Призма 5

В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус уг ла между плоскост ями ACB 1 и A 1 C 1 B .

Решение: Данные плоскости пересекаются по прямой DE . Обозначим G середину DE и F середину AC . Угол BGF будет искомым. В треугольнике BGF имеем

BF = ; BG = FG =

По теореме косинусов, имеем

Призма 6

В правильной 6-й призме A … F 1 найдите у гол между плоскостями ABC и ABB 1 .

Ответ: 90 о .

Призма 7

Н айдите двугранный у гол, образованный соседними боковыми гранями правильной 6-й призмы A … F 1 .

Ответ: 120 о .

Призма 8

В правильной 6-й призме A … F 1 найдите у гол между плоскостями ABB 1 и CDD 1 .

Ответ: 60 о .

Призма 9

В правильной 6-й призме A … F 1 найдите у гол между плоскостями ACC 1 и CDD 1 .

Ответ: 90 о .

Призма 10

В правильной 6-й призме A … F 1 найдите у гол между плоскостями ACC 1 и DEE 1 .

Ответ: 30 о .

Призма 11

В правильной 6-й призме A … F 1 найдите у гол между плоскостями ACC 1 и CEE 1 .

Ответ: 60 о .

Призма 12

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс у гла между плоскостями ABC и BCD 1 .

Решение: Искомый угол равен углу O 1 GO , где O , O 1 – центры оснований призмы, G – середина BC .

В прямоугольном треугольнике O 1 GO имеем: OO 1 = 1, OG = .

Следовательно,

Ответ:

Призма 13

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ABC и BCE 1 .

Решение: Искомый угол равен углу E 1 CE.

В прямоугольном треугольнике E 1 CE имеем: EE 1 = 1, CE = , CE 1 = 2 . Следовательно, .

Ответ: .

Призма 14

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями ABC и BDE 1 .

Решение: Искомый угол равен углу E 1 DE. Он равен 45 о .

Ответ: .

Призма 15

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс у гла между плоскостями ABC и BDF 1 .

Решение: Искомый угол равен углу F 1 GF , где G – середина BD . В прямоугольном треугольнике F 1 GF имеем: FF 1 = 1, FG =

Следовательно,

Ответ:

Призма 16

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите тангенс у гла между плоскостями ABC и ADE 1 .

Решение: Искомый угол равен углу E 1 GE , где G – середина CE . В прямоугольном треугольнике E 1 GG имеем: EE 1 = 1, EG =

Следовательно,

Ответ:

Призма 17

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус у гла между плоскостями CDE 1 и AFE 1 .

Решение: Пусть O , O 1 – центры оснований призмы, P , Q – середины ребер AF и CD . Искомый угол равен углу PO 1 Q . В треугольнике PO 1 Q имеем: PO 1 = QO 1 = , PQ =

Из теоремы косинусов получаем

Ответ:

Призма 18

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите у гол между плоскостями CDF 1 и AFD 1 .

Решение: Пусть O – центр призмы, G , G 1 – середины ребер CD и C 1 D 1 . Искомый угол равен углу GOG 1 . В треугольнике GOG 1 имеем: GG 1 = GO = G 1 O = 1. Следовательно, = 60 о .

Ответ:

Призма 19

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус у гла между плоскостями BCD 1 и AFE 1 .

Решение: Пусть O , O 1 – центры боковой грани и верхнего основания призмы. Искомый угол равен углу A 1 GB 1 , где G – середина OO 1 . В треугольнике A 1 GB 1 имеем: A 1 B 1 = 1, A 1 G =

B 1 G = Из теоремы косинусов получаем

Ответ:

Призма 20

В правильной 6-й призме A … F 1 , ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями BCC 1 и AFE 1 .

Решение: Продолжим отрезки CB и FA до пересечения в точке G . Прямая B 1 G будет линией пересечения данных плоскостей.Из точки A опустим перпендикуляры AO и AH соответственно на прямые B 1 G и BG . Угол AOH будет искомым линейным углом.

По теореме косинусов находим

Октаэдр

Найдите двугранные углы октаэдра.

Решение: Рассмотрим правильный октаэдр с ребром 1. Из вершин E и F опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC . Угол EGF будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике EGF имеем:

EF = , EG = FG = .

Используя теорему косинусов, находим

. Откуда 109 о 30'.

Ответ: , 109 о 30'.

Икосаэдр

Найдите двугранные углы икосаэдра.

Решение: Рассмотрим правильный икосаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF . Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем:

AC = , EG = FG = .

Используя теорему косинусов, находим

. Откуда 138 о 11 ' .

Ответ: , 138 о 11 '.

Додекаэдр

Найдите двугранные углы додекаэдра.

Решение: Рассмотрим правильный додекаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF . Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем:

AC = , EG = FG = .

Используя теорему косинусов, находим

. Откуда 116 о 34 ' .

Ответ: , 116 о 34 '.