Рисунки Савченко Е.М. Рисунки в презентации выполнены с помощью инструментов панели рисования программы Microsoft PowerPoint .
Векторы называются компланарными , если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Другими словами, векторы называются компланарными , если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.
c
c
a
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
c
k
a
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными.
На рисунке изображен параллелепипед.
Являются ли векторы ВВ 1 ,
О D и ОЕ компланарными?
B 1
D
C
Е
В
А
О
Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. На рисунке изображен параллелепипед.
Являются ли векторы ОА,
ОВ и ОС компланарными?
B 1
D
C
Векторы ОА, ОВ и ОС не компланарны, так как вектор
ОС не лежит в плоскости ОАВ.
Е
В
О
А
Являются ли векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B компланарными?
D 1
C 1
A 1
Векторы А 1 D 1 , A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1 .
Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости.
B 1
D
C
A
B
Векторы AD , А 1 С 1 и D 1 B не компланарны.
Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными?
Любые два вектора компланарны.
D 1
C 1
A 1
B 1
D
C
A
B
№ 355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
АА 1 , СС 1 , ВВ 1
В 1
С 1
А 1
D 1
В
С
А
D
№ 355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так
как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.
АВ, А D , АА 1
В 1
С 1
А 1
D 1
В
С
А
D
№ 355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Три вектора, среди которых имеются
два коллинеарных, компланарны.
В 1 В, АС, DD 1
В 1
С 1
А 1
D 1
В
С
А
D
№ 355 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .
Компланарны ли векторы?
Векторы АВ, А D и АА 1 не компланарны, так
как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС.
А D , CC 1 , А 1 B 1
В 1
С 1
А 1
D 1
Векторы
не компланарны
А D , CC 1 , А 1 B 1
В
С
А
D
Любые два вектора компланарны.
Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.
Признак компланарности
c
Если вектор можно разложить по векторам
и , т.е. представить в виде
где x и y – некоторые числа, то векторы , и
компланарны.
a
c = xa + yb
b
a
b
c
Справедливо и обратное утверждение.
Признак компланарности
a
c
b
c
Если векторы , и компланарны, а векторы
и не коллинеарны, то вектор можно
разложить по векторам и
, причем
коэффициенты разложения определяются
единственным образом.
Если вектор можно разложить по векторам
и , т.е. представить в виде
где x и y – некоторые числа, то векторы , и
компланарны.
c
b
a
c = xa + yb
a
b
a
b
a
b
c
c = xa + yb
Сложение векторов.
Правило треугольника.
АВ + ВС =
П
О
В
Т
О
Р
И
М
АС
a +
b
b
a
b
a
Сложение векторов. Правило параллелограмма.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
a +
АС
АВ + А D =
b
В
b
b
a +
b
А
C
a
D
a
a+c+m+n
Сложение векторов.
Правило многоугольника.
П
О
В
Т
О
Р
И
М
= А O
АВ + ВС + С D + DO
n
m
a
m
n
c
c
a
Правило параллелепипеда.
OA + OB + OC = OD
из OED
из OAE
= (OA + AE) + ED
= OA + OB + OC =
OE + ED
OD =
= a + b + c
D
В 1
С
c
Е
В
b
a
A
О
№ 35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
= AC 1
АВ + А D + АА 1
D 1
C 1
A 1
B 1
D
С
A
В
№ 35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
D А + DC + DD 1
= DB 1
D 1
C 1
A 1
B 1
D
С
A
В
№ 35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1
D 1
C 1
= DB 1
DC
+ DD 1
+ DA
A 1
B 1
D
С
A
В
№ 35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
A 1 A + A 1 D 1 + AB
D 1
C 1
+ A 1 B 1
= A 1 C
A 1 A + A 1 D 1
A 1
B 1
D
С
A
В
№ 35 8 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 . Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов:
B 1 A 1 + BB 1 + BC
D 1
C 1
= BD 1
BA +
BB 1 + BC
A 1
B 1
D
С
A
В
№ 359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .
Разложите вектор BD 1 по векторам BA , ВС и ВВ 1 .
По правилу параллелепипеда
В D 1 = BA + BC + BB 1
D 1
C 1
A 1
B 1
D
С
A
В
№ 359 Дан параллелепипед АВС A 1 B 1 C 1 D 1 .
Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A , А 1 В и А 1 D 1 .
По правилу треугольника из А 1 В 1 D 1 :
D 1
C 1
В 1 D 1 = B 1 A 1 + А 1 D 1
=
из А 1 В 1 B
A 1
B 1
=
= ( В 1 B + BA 1 )+ А 1 D 1
=
= (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1
D
С
= A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1
A
В