Решаем задание 17 ЕГЭ. Банковские задачи. 6

Задача 6

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на пять лет. В середине каждого года действия кредита долг заемщика возрастает на 15% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заемщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заемщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 7 млн руб.

Решение.

Пусть S млн руб – сумма кредита (целое число млн руб), х – выплаты в конце 4-го и 5-го годов.

Так как в первые три года заемщик выплачивает только проценты по кредиту, то ежегодные выплаты равны 0,15 S руб; следовательно, за первые три года сумма выплат равна 3∙ 0,15 S = 0,45 S. В последние два года выплаты равны х руб.

Сумма выплат за пять лет составит 0,45 S + 2х, что, по условию задачи, должно быть меньше 7 млн руб:

0,45 S + 2х

В середине 4-го года кредитования (до выплаты) долг составит S + 0,15 S = 1,15 S руб. После выплаты долг составит 1,15 S – х руб.

В середине 5-го год составит (1,15 S – х)∙1,15 руб, а после последней выплаты (1,15 S – х)∙1,15 – х = 0.

Решим систему:

Из второго уравнения выразим х:

1,3225S = 2,15x, x = S.

Подставим данное выражение в неравенство:

Так как сумма кредита – целое число миллионов, меньшее то S = 4 млн руб.

Ответ: 4 млн руб.