Уравнения, виды уравнений и способы их решений

Тема. Решение дробных рациональных уравнений. Обобщение и систематизация темы: «Уравнения, виды уравнений и способы их решения»

Цели обучения Образовательная:

- систематизировать и обобщить знания обучающихся об уравнениях;

- расширить и обобщить знания обучающихся по теме – решение дробных рациональных уравнений, используя при этом различные приемы и методы.

- повторить различные способы решения дробных рациональных уравнений.

- продолжить обучение решению дробных рациональных уравнений по алгоритму решения дробных рациональных уравнений. - провести проверку уровня усвоения темы путем проведения самостоятельной работы.

Развивающая:

- развитие коммуникативных навыков общения и умения слушать и слышать;

- развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

- развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;

- развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитательная:

- воспитание познавательного интереса к предмету;

- стимулировать самостоятельную деятельность, способствовать формированию коммуникативных навыков. - воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов. Цель урока: - обеспечить осознанное усвоение обучающимися алгоритма решения дробно-рациональных уравнений;

- активизировать мыслительную деятельность школьников через активное участие каждого в процессе работы.

Тип урока: Урок систематизации и обобщения знаний и умений.. Методы и технологии, используемые на уроке: проблемно-поисковые, словесные практические, ИКТ, групповые, технология развития критического мышления, технология коллективной мыслительной деятельности (КМД)

Технология креативного мышления «Шесть думающих шляп». Оборудование и наглядность: базовый учебник Макарычев Ю.Н. Алгебра. 9 класс: учеб. Для обучающихся общеобразовательных учреждений. «Просвещение», 2014г; ноутбук, дополнительный раздаточный материал. Ресурсы: презентация «Решение дробных рациональных уравнений», наборы шляпок, кластеры уравнений, раздаточный материал для рефлексии.

Ход урока

І.Организационный момент.

Добрый день, ребята! Запишите дату в тетрадях и тему урока: « Решение дробных рациональных уравнений»

Девиз урока

Покоряет вершины тот,

кто к ним стремится

.Установка на успех

1.Определи для себя значение данного материала. 2.Наметь цель и не отступай от неё. 3. Радуйся, когда тебе удастся достичь хотя бы маленького успеха. 4. Не огорчайся, если с первого раза не удастся. Попробуй ещё раз. 5. Не бойся попросить помощи. 6. Спрашивай, если в чём-то сомневаешься. 7. Я верю, что каждый из вас справится.

Успехов вам!

II.Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний обучающихся. Актуализация знаний

1. Двое учащихся работают у доски (решение упражнений аналогичных домашним)

1. При каких значениях a равно нулю значение дроби:

а) ; Ответ :0 б) . Ответ: 0 (Работа в диалоге)

2. Остальные учащиеся проверяют выполнение домашнего задания, применяя «Инсерт»

3. Проверь себя ( Слайд )

Пример 1.

_{Общий знаменатель 2(x+1)(х -1) =2( х}² _-1)

x₁ =6, x₂= - 2,2. Ответ: -2,2 ;6.

Пример 2.

нет решений

_{Общий знаменатель х(1-х)}

Ответ: нет решений

.

П ример 3.

x = -8 ОДЗ: х

Ответ: -8.

4. Решите устно:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 5; б) корней нет; в) – 6.

5. Проверка кластеров «Уравнения, виды и способы их решений»

III. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности обучающихся.

Сегодня на уроке мне хотелось бы вас пригласить поглубже заглянуть в замечательный мир математики – в мир уравнений, в мир поиска, в мир исследований.

Слово учителя о преемственности при изучении темы «Уравнения, виды и способы их решений»

Уравнения в школьном курсе математике занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).

IV.Обобщение и систематизация знаний по теме «Уравнения, виды и способы их решений»

1.Начальная школа

В период обучения в начальной школе формируются базовые знания, умения и навыки, на основе которых будет строиться дальнейшее изучение математики. Начальная школа занимает решающее место: проблема преемственности может не возникнуть только в случае, когда правильно организованно начальное обучение. Другими словами, на начальную школу возлагается высочайшая ответственность за все дальнейшее обучение математики. Вот почему так важно дать учащимся наиболее полную информацию о сущности уравнения и показать им пути его решения.

2 класс «Знакомство с уравнениями. Решение уравнений методом подбора»

- Ребята, посмотрите, пожалуйста, на доску. Вам знакома такая запись?

 + 4 = 12 (Да, это пример с «окошком»)

- А такая: а + 4? (Да, это буквенное выражение)

- Что вы делали в первом случае? (подбирали число, чтобы запись была верной)

- Что делали во втором случае? (Вместо буквы подставляли числа и вычисляли).

- А сейчас внимательно посмотрите на запись, которую принёс нам Знайка Математик.

х + 4 = 12

- На что она похожа? (И на пример с «окошечком» и на буквенное выражение).

- Что нам говорит знак «=»? (Это равенство)

- Какое равенство? Все числа в нём известны? (нет).

- Что неизвестно? (первое число)

- Как оно обозначено? (латинской буквой)

- Если оно неизвестно, перед нами какая встаёт задача? (Найти, узнать какое это число)

- Найдите это число, чтобы равенство было верным. (Это число 8, потому что 8 + 4 = 12)

- А знаете, что вы сейчас сделали? Вы решили уравнение х+4=12

- Попробуем сделать вывод из всего сказанного и сделанного. Уравнение это (учитель показывает знак «=») (Равенство)

- Которое содержит что (показываю на х)? (Неизвестное число)

- Что надо сделать с неизвестным числом? (Его надо найти)

- Как обозначается неизвестное число? (Латинской буквой)

- Кто может сказать, что такое уравнение? (Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число)

- Что значит «решить уравнение»? Найти такое число, чтобы равенство было верным)

- Давайте решим уравнения (3 человека у доски)

8 + х = 14 13 - х = 7 a – 5 = 9

- Как нашли неизвестное число? ( Дети рассказывают алгоритм: 1) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть другое слагаемое.

2) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность. 3) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое).

. Итог урока.

- Ребята, вот и близится к концу наш урок. С каким математическим понятием мы познакомились? (Мы познакомились с понятием «уравнение»)

- Тогда скажите, что же такое уравнение?

(Равенство, которое содержит неизвестное число).

- А что значит решить уравнение?

(Решить уравнение – значит найти неизвестное число, чтобы равенство было верным).

3 класс

– Что такое уравнение? (Равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти).

Самоопределение к деятельности

– Среди записей найдите уравнение.

38 + х 74 – 18 = 56 х + 6 3

46 + 12 = 58  х – 8 = 63  х – 22

– Как вы догадались? (Ответы детей)

– Давайте вспомним, как называются компоненты при вычитании? Что нам нужно найти? Какое правило поможет нам найти уменьшаемое? (Чтобы найти неизвестное уменьшаемое нужно к разности прибавить вычитаемое). Решите уравнение.

х – 8 = 63

х = 63 + 8

х = 71

71 – 8 = 63

63 = 63

– Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?

– Совершенно верно. Мы продолжим учиться решать уравнения.

Или:

1. Повторение связи между суммой и слагаемыми.

5+7=12

-Давай вспомним компоненты при сложении( Слагаемое, слагаемое, сумма)

-Что такое 5? (Первое слагаемое)

-Что такое 7? (Второе слагаемое)

-Что такое 12? (Сумма).

-Что необходимо сделать, чтобы найти неизвестное первое слагаемое? (Нужно из суммы вычесть второе слагаемое). 12-7=5

-Что необходимо сделать, чтобы найти второе слагаемое? (Надо из суммы вычесть первое слагаемое). 12—5=7

4 класс

алгоритм действий по решению простых уравнений

·  Прочитать уравнение.

·  Определить, что неизвестно в уравнении.

·  Применить правило нахождения неизвестного слагаемого.

·  Произвести вычисления.

·  Сделать проверку.

Алгоритм решения сложного уравнения.

1)Прочитать уравнение.

2) Упростить правую часть уравнения.

3)Определить, что неизвестно.

4)Применить правило нахождение неизвестного слагаемого.

5)Произвести вычисления.

6)Сделать проверку.

24 + Х = 79 – 30

24+x=49

X=25

24+25=79-30

49=49

- Понятие об уравнении

Способы решения уравнений:

а) способ подбора;

б) решение уравнений на основе зависимости между компонентами действий.

в) решение уравнений на основе соотношения между частью и целым.

г) решение уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения.

2. 5-6 классы

3. 7-8 классы

7 класс

1.Уравнения с одной переменной или с одним неизвестным

а).Что такое уравнение? (Равенство, содержащее неизвестное).

б).Что такое корень уравнения? (Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство).

в).Что значит решить уравнение? (Значит найти все его корни или доказать, что их нет).

2. Линейное уравнение

Уравнение вида ах =в , где х – переменная , а и в - некоторые числа , называется линейным уравнением с одной переменной .

Уравнение вида ах =в при а имеет один корень,

при а=0, в не имеет корней,

при а =0 , в= 0 имеет бесконечно много корней ( любое число является его корнем)

1. класс

1.Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида где x - переменная, а , в и с – некоторые числа, причём а 0.

а , в и с – коэффициенты КУ, число а – называется первым коэффициентом, число в – вторым коэффициентом и число с – свободным членом.

Степень уравнения вида ( наибольшая степень переменной х – квадрат), поэтому – квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при равен 1, называется приведенным квадратным уравнением.

Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1. , где с ;

2. , где в

3. .

Выражение - 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения и его обозначают буквой D = - 4ac

Если D , уравнение имеет два корня,

Если D , то уравнение не имеет корней,

Если D , то уравнение имеет один корень.

Формулы корней КУ:

1. , где D = - 4ac,

2. , где D = - ac для квадратного уравнения ,

3.Теорема Виета - сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. х₁ + х₂ = - ,

а произведение корней равно свободному члену, т.е. х₁ х₂ = ..

2.Дробные рациональные уравнения

Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля, называют целыми выражениями.

Выражения, помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменной, называются дробными выражениями

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Что является допустимым значением рациональной дроби (допустимым значением рациональной дроби являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби)

Уравнения, в которых левая и правая части являются рациональными выражениями, называются рациональными уравнениями.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.

Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является целым выражением, называют целым.

Способы решения дробно- рациональных уравнений:

1.Исползование свойство дроби равной нулю,

2.Использование свойства дроби, равной 1,

3. Использование свойства пропорции,

4.Введение новой переменной.

4 . 9 класс

Какое уравнение с одной переменной называется целым (целым уравнением с одной переменной называется уравнение, левая и правая части которого - целые выражения)

Дайте определение биквадратного уравнения (уравнение вида + c = 0, где являющемся квадратным относительно , называется биквадратным уравнением).

Какое уравнение называется дробным рациональным (дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них – дробным выражением­­).

Какие существует способов решения дробных рациональных уравнений:

1.Приведение дробей к общему знаменателю;

2.Умножение дробей на общий знаменатель всех дробей.

3. Графический способ;

4. Введение новой переменной;

5.Выделение из дробей целой части)

Когда дробь равна нулю (дробь равна нулю когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю)

Первый алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

2. Умножают обе части уравнения на этот знаменатель.

3.Решают получившееся целое уравнение.

4.Исключают из его коней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дроби.

5. Записываем ответ.

Второй алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Найти допустимые значения дробей, входящих в уравнение.

2. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение.

3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.

4. Решить получившееся уравнение.

5. Исключить корни, не входящие в допустимые значения дробей уравнения.

Обобщая весь теоретический материал, хочу вас спросить:

Какие виды уравнений вы знаете? Определение. (линейные, квадратные и приводимые к квадратным, дробные, целые, рациональные , дробно- рациональные)

Когда в уравнении появляются посторонние корни?

V.Применение знаний и умений в новой ситуации

VI.Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция

3.71. Тракторист должен был вспахать за некоторое время поле площадью 180 га. Но ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, поэтому закончил работу на 1 день раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

Во время объяснения задачи применяем технологию «Шесть думающих шляпок»

1.Надеваем белую шляпу – и собираем информацию, которая у нас имеется.

А имеется …… проговариваем условие задачи…...

Необходимо определить ……. За сколько дней тракторист вспахал поле?

А как это сделать? …… Площадь поля разделить на количество гектар, которые он вспахивал каждый день

2. Надеваем черную шляпу – ребята, рассмотрим, какие имеются недостатки, проблемы в решении задачи. Но мы не знаем его ежедневной нормы по плану

3.Надеваем красную шляпу – ребята выскажите свои эмоции предположения по данному вопросу, есть ли у вас предложения, как решить задачу, что необходимо сделать.

4.Надеваем желтую шляпу – мы видим, что у …. Давайте посчитаем, …. Каким правилом можно воспользоваться, чтобы узнать ….?

5. Надеваем зеленую шляпу – мы определили, что ……

6.Надеваем синюю шляпу – решим полученное уравнение

Решение

Пусть тракторист по плану в день должен вспахать х га.,- дневная норма

но по факту он вспахивал по (х+2) га . Тогда

- дней по плану для выполнение задания;

- дней по факту для выполнение задания.

По условию задачи составляем и решаем уравнение:

- = 1

ОДЗ: х 0, х -2

Общий знаменатель .

Умножим обе части уравнения на

получим ,

180х +360 – 180х =

D = 4+ 1440 =1444 , 2 корня

х= (-2 , - удовлетворяет условию задачи

– не удовлетворяет условию задачи так, как количество гектаров не может быть отрицателным числом.

180 18 =10 ( дней) по плану, а по факту – (10-1) = 9 ( дней).

Ответ: 9 дней.

VII. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

3.10. Решите уравнение

3.11. Решите уравнение

3.12. Решите уравнение

3.13. Решите уравнение

VIII.Рефлексия

Применение метода на этапе РЕФЛЕКСИИ:

Белая: На мой взгляд, больше всего удалось….. (факты, информация).

Красная: Меня удивило….. (эмоции, интуиция).

Чёрная: Я думаю, что ……. (критика, оценка).

Жёлтая: Для меня было открытием то, что………….. (логический позитив, оптимизм).

Зелёная: На будущее я учту…………. (креатив, новая идея).

Синяя: Я могу похвалить за….. (обобщение).

С помощью светофора ученики оценивают свою работу.

Урок прошел удачно: я участвовал в работе класса, с заданиями справился успешно. Я очень доволен собой.

Сегодня на уроке не все задания оказались легкими. Мне было трудно, но я справился. Я доволен собой!

Задания на уроке оказались трудными. Мне нужна помощь!

Список использованной литературы: (слайд 13)

1. Макарычев Ю.Н. Алгебра.8 класс.- М.:«Просвещение»,2016

2. Жохов В.И., Карташева Г.Д. Уроки алгебры в 8 классе.-М.:«Просвещение»,2014

3. Ященко И.В. ОГЭ (ГИА-9): 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1.-М.: Издательство «Экзамен», 2015

4. Лаппо Л.Д. ЕГЭ. Математика. Тематические тренировочные задания. -М.: Издательство «Экзамен», 2015